O que é a Lei de Gauss: fórmula e sua derivação

O estudo da carga elétrica e do fluxo elétrico junto com a superfície é a lei de Gauss. É uma das leis básicas do eletromagnetismo, aplicável a qualquer tipo de superfície fechada conhecida como superfície gaussiana. Esta lei é explicada e publicada por um matemático alemão e lei física Karl Friedrich Gauss no ano de 1867. Ela descreve a relação entre a intensidade do campo elétrico de uma superfície e a carga elétrica total envolvida por essa superfície. Este artigo oferece uma visão geral da lei de Gauss em dielétricos e magnetostáticos com uma expressão matemática. O que é a Lei de Gauss? A lei de Gauss é uma das equações de eletromagnetismo de Maxwell e define que o fluxo elétrico total em uma superfície fechada é igual à mudança fechada dividida por permissividade. De acordo com esta lei, o fluxo total ligado a uma superfície fechada é 1 / E0 vezes a mudança envolvida por uma superfície fechada. O fluxo elétrico em uma área significa o produto do campo elétrico pela área da superfície projetada em um plano e perpendicular ao campo. Fórmula da Lei de Gauss De acordo com esta lei, a carga total encerrada em uma superfície fechada é proporcional ao fluxo total encerrado pela superfície. Considere se, Φ é o fluxo total e E0 é a constante elétrica, então a carga elétrica total Q envolvida pela superfície fechada pode ser expressa como segue Q = ΦE0 Portanto, a fórmula da lei de Gauss pode ser expressa como abaixo de ΦE = Q / E0 Onde, Q = Carga total dentro de uma determinada superfície, E0 é a constante elétrica. Este conceito é simples e pode ser entendido muito facilmente considerando o diagrama da lei de Gauss mostrado na figura abaixo. O fluxo elétrico total através da superfície fechada depende das cargas da superfície fechada e as cargas do lado de fora da superfície não contêm nenhum fluxo. A forma da superfície é considerada arbitrariamente. Uma vez que o fluxo elétrico total é independente da localização das cargas dentro da superfície fechada. Essa superfície imaginária é chamada de superfície gaussiana, que depende da configuração das cargas e do tipo de simetria existente na configuração das cargas. A maioria das superfícies cilíndricas e planas são escolhidasDiagrama da Lei de Gauss Unidade SI da Lei de GaussA unidade SI da lei de Gauss é dada abaixo. Se o campo elétrico for constante, o fluxo elétrico que passa pela superfície da área vetorial S éΦE = E .S = ES Cos өSe um campo elétrico não for constante, o fluxo elétrico através de pequena área de superfície dS é dado por d ΦE = E. dS Onde E = campo elétrico dS = área diferencial em superfície fechada O fluxo elétrico tem unidades SI de voltímetros (V m) Um campo elétrico é uma região do espaço em torno de uma partícula carregada ou entre duas tensões; ele exerce uma força sobre objetos carregados em sua vizinhança. Expressão matemática da Lei de GaussSegundo a lei de Gauss, o fluxo total em uma área de superfície fechada é 1 / E0 vezes a carga confinada por uma superfície fechada.∮E. ds = (1 / E0) qPara uma instância, uma carga pontual q é posicionada em uma aresta do cubo. Então, de acordo com a lei de Gauss, o fluxo gerado através de cada face de um cubo é q / 6 E0As por esta lei, a carga total encerrada em uma superfície fechada é proporcional ao fluxo total encerrado pela superfície. Considere se, Φ é o total fluxo e E0 é a constante elétrica, então a carga elétrica total Q envolvida pela superfície fechada pode ser expressa como segue Q = Φ E0 Portanto, a fórmula da lei de gauss pode ser expressa como abaixo E = Q / E0 Onde, Q = Carga total dentro da superfície dada, E0 é a constante elétricaDerivaçãoA derivação da lei de gauss é dada abaixo. Derivando a lei de gauss usando a lei de coulombs, CASO 1: Superfície esférica envolvendo uma carga pontual única Vamos supor que temos uma carga pontual estacionária única com uma magnitude de EE = q / 4ΠE0r2ΦE = ∮E. dA = ∮ q / 4ΠE0r2. dA = q / 4ΠE0r2§ dA = qA / 4ΠE0r2 = q4Πr2 / 4ΠE0r2 = q / E0ΦE = ∮ E. dA = q / E0CASE 2: Superfície irregular envolvendo o mesmo ponto de carga Deixe o mesmo tipo de linhas de campo passar pela superfície A1 e A2ΦE = ∮A1 E. dA = ∮A2 E. dA = q / E0∮ E. dA = q / E0 Lei de Gauss em DielétricosConsidere um capacitor de placa paralela com igual área A e densidade de carga σ e haverá um vácuo entre as placas. O diagrama a seguir explica essa lei em dielétricos entre as duas placas paralelas. Em seguida, podemos avaliar o vetor de campo E0 na região entre as placas usando a lei de gauss.Lei de Gauss em Dielétricos Vamos considerar uma superfície gaussiana com forma de cuboide e uma face é gaussiana o fluxo não passará por ela, e então o fluxo não passará pela face perpendicular a esta face. Portanto, o fluxo só passará pela face que é paralela à placa positiva. Considere a constante E0 da superfície gaussiana e ө é o ângulo entre o vetor de campo e o vetor de área∯S E0. dα = q / E0∯S E0 dα cosө = q / E0∯S E0 dα = q / E0E0∯S dα = q / E0E0A = q / E0E0 = q / E0AAqui q = A σE0 = A σ / E0AE0 = σ / E0Gauss Lei da magnetostáticaEsta lei do magnetismo se aplica ao fluxo magnético através de uma superfície fechada. Nesse caso, o vetor de área aponta para fora da superfície. Como as linhas do campo magnético são loops contínuos, todas as superfícies fechadas têm tantas linhas de campo magnético entrando quanto saindo. Portanto, o fluxo magnético líquido através da superfície fechada é zero. Fluxo líquido = ʃ B. dA = 0 Portanto, a soma líquida de todas as correntes na superfície fechada é Nula. A lei de Gauss para cargas era um método muito útil para calcular campos elétricos em situações altamente simétricas. A lei de Gauss para magnetostática é usada muito raramente. Significância Esta seção fornecerá uma explicação clara sobre a importância da lei de Gauss. A declaração da lei de Gauss é correta e adequada para qualquer superfície fechada independente do tamanho ou forma do objeto particular. O termo Q na fórmula da lei de Gauss indica a soma de todas as cargas que estão completamente encerradas no objeto, independentemente da posição do carga na superfície. Em algumas das superfícies selecionadas, existem cargas internas e externas de um campo elétrico. A superfície selecionada para a funcionalidade da lei de gauss é denominada superfície gaussiana, mas esta superfície não deve ser passada por nenhum tipo de carga isolada. É principalmente empregada para a análise simplificada do campo eletrostático no cenário em que o sistema mantém algum equilíbrio . Isso só acontecerá quando escolhermos uma superfície gaussiana exata.Exemplos1). Uma superfície Gaussiana fechada no espaço 3D onde o fluxo elétrico é medido. Desde que a superfície gaussiana seja esférica, que contém 40 elétrons e tem um raio de 0.6 metros. Calcule o fluxo elétrico que passa pela superfície. Encontre o fluxo elétrico com uma distância de 0.6 metros até o campo medido a partir do centro da superfície. a relação que existe entre a carga encerrada e o fluxo elétrico. Resposta Com a fórmula do fluxo elétrico, a carga líquida que está encerrada na superfície pode ser calculada. Isso pode ser conseguido pela multiplicação da carga do elétron com todos os elétrons que aparecem na superfície. Usando isso, a permissividade do espaço livre e o fluxo elétrico podem ser conhecidos.Ф = Q / є0 = [40 (1.60 * 10-19) /8.85 * 10-12] = 7.42 * 10-12 Newton * metro / CoulombAnswerRearranging the equation de fluxo elétrico e expressar a área por raio pode ser usado para calcular o campo elétrico.Ф = EA = 7.42 * 10-12 Newton * metro / CoulombE = (7.42 * 10 -) / A = (7.42 * 10 -) / 4∏ (0.6) 2Como o fluxo elétrico tem uma proporção direta com a carga elétrica incluída, isso significa que quando a carga elétrica na superfície aumenta, o fluxo que passa por ela também será aumentado. Vantagens As vantagens da lei de Gauss são tão segue; quando comparado com a lei dos coulombs, fornece direção de força específica com precisão adequada com seus casos gerais adequados. O teorema de Gauss é mais eficiente em todos os objetos e superfícies fechadas para o propósito de encontrar um campo elétrico e também funcionará efetivamente no processo de distribuição quando comparado com a lei coulombs. Desvantagens As desvantagens da lei gauss são tão f a seguir A limitação da lei de gauss é que ela só calculará o campo elétrico em alguns casos especiais. Não podemos usar a lei de Gauss no cálculo do campo devido ao dipolo elétrico. A seguir estão as aplicações importantes da lei de Gauss. Isso é mais útil para resolver problemas eletrostáticos complexos envolvendo simetrias únicas, como simetria cilíndrica, esférica ou planar. Isso pode ser muito útil para calcular a intensidade do campo devido ao fio infinitamente longo e uniformemente carregado. Se a distribuição de carga carece de simetria de aplicação, nesses casos, podemos usar esta lei para calcular os campos de carga pontual dos elementos de carga individuais que estão presentes no objeto. Esta lei pode ser usada para simplificar a avaliação do campo elétrico de forma simples e fácil. Em algumas das situações complexas, onde o cálculo do campo elétrico é complexo, esta lei é usada de forma integral. Portanto, trata-se de uma visão geral da lei de Gauss - definição , fórmula, unidade SI, expressão matemática, derivação, diagrama, em dielétrica, em magnetostática, significância, exemplos com soluções, Advantag es, desvantagens e suas aplicações.

Deixe um recado 

Lista de mensagens